Matematika Modul Umum · Bab 1 JARAK DALAM RUANG BIDANG DATAR

22/08/2021 10:08:26

SMA 12 K-13

Daftar Isi

Bab 1 JARAK DALAM RUANG BIDANG DATAR Bab 2 STATISTIKA Bab 3 KAIDAH PENCACAHAN Bab 4 TEORI PELUANG

Halaman

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2JARAK DALAM RUANG BIDANG DATARMATEMATIKA UMUMKELASXIIPENYUSUNAsmar AchmadSMA Negeri 17 Makassar

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN................................................................................................................................................2DAFTAR ISI...............................................................................................................................................3GLOSARIUM..............................................................................................................................................4PETA KONSEP..........................................................................................................................................5PENDAHULUAN......................................................................................................................................6A. Identitas Modul..............................................................................................................6B. Kompetensi Dasar..........................................................................................................6C. Deskripsi Singkat Materi...............................................................................................6D. Petunjuk Penggunaan Modul.........................................................................................7E. Materi Pembelajaran......................................................................................................8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1..........................................................................................................9JARAK TITIK KE TITIK DALAM RUANG BIDANG DATAR.......................................................9A.Tujuan Pembelajaran.....................................................................................................9B.Uraian Materi.................................................................................................................9C.Rangkuman..................................................................................................................14D.Latihan Soal.................................................................................................................14E.Penilaian Diri...............................................................................................................20KEGIATAN PEMBELAJARAN 2........................................................................................................21JARAK TITIK KE GARIS DALAM RUANG BIDANG DATAR....................................................21A.Tujuan Pembelajaran...................................................................................................21B.Uraian Materi...............................................................................................................21C.Rangkuman..................................................................................................................25D.Latihan Soal.................................................................................................................26E.Penilaian Diri...............................................................................................................31KEGIATAN PEMBELAJARAN 3........................................................................................................32JARAK TITIK KE BIDANG PADA RUANG BIDANG DATAR....................................................32A.Tujuan Pembelajaran...................................................................................................32B.Uraian Materi...............................................................................................................32C.Rangkuman..................................................................................................................36D.Latihan Soal.................................................................................................................36E.Penilaian Diri...............................................................................................................42EVALUASI................................................................................................................................................43DAFTAR PUSTAKA...............................................................................................................................48

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUMJarak titikke titik:Panjang ruas garis terpendek yangmenghubungkan titik-titik tersebut.Jarak titik ke garis:Misal P adalah titik dan gadalah garis.Jarak titik P ke garis gadalah panjang ruas garis 𝑃𝑄dengan 𝑄terletak di garis 𝑔, dan 𝑃𝑄tegak lurus garis𝑔.Jarak titik ke bidang:Misal P adalah titik dan adalahbidang. Jarak antara P dengan bidangadalah panjang ruas garis dari 𝑃𝑄, dengan 𝑄di bidang αdan 𝑃𝑄tegak lurus bidang α.Titik tengah ruas garis :Titik yang membagi ruas garis menjadi dua ruas garis yang kongruen (panjangnyasama besar).

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEPJARAK DALAM RUANGBIDANG DATARTeorema PythagorasPenerapan Dalam Kehidupan Sehari-hariJarak Titik ke BidangJarak Titik ke TitikJarak Titik ke GarisRumus Pembantu

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika UmumKelas:XIIAlokasi Waktu:8JP (KP 1 = 4 JP, KP 2 = 2 JP, KP 3 = 2 JP)Judul Modul:Jarak Dalam Ruang Bidang DatarB. Kompetensi Dasar3.1.Mendeskripsikan jarak dalamruang (antar titik, titik ke garis,dan titik ke bidang).4.1.Menentukan jarak dalam ruang(antar titik, titik ke garis, dan titikke bidang).C. Deskripsi Singkat MateriDalam kehidupan sehari-hari, banyak kita temukan penerapan dari konsep jarak dalam ruang. Coba perhatikan gambar berikut.Gambar 1. Cable Stayed Bridge(Jembatan Kabel Penahan/kabel tetap)Sumber: https://steemit.com/travel/@naila/jembatan-barelan-batam-indonesiaGambar di atas adalah gambar Jembatan Barelangyang menghubungkan antara Pulau Batam, Pulau Tonton, Pulau Nipah, Pulau Rempang, Pulau Galang dan Pulau Galang Baru.Dalam perencanaanpembangunannya tentunya diperlukan perhitunganpanjang kabel penahan yang pada dasarnya merupakan jarak antar titik dalamruang berdimensi tiga.Contoh lain penerapan konsep jarak dalam ruang yang sangat dekat dengan kita adalah pembuatan kuda-kuda suatu rumahseperti gambar berikut.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7Gambar 2. Kuda-kuda suatu rumahSumber: https://www.birodesainrumah.com/2019/04/memilih-material-untuk-rangka-atap.htmlTentunya kalian sering melihat bentuk kuda-kuda rumah seperti gambar di atas. Untuk menghemat biayapembuatan rumah, salah satu aspek yangharus diperhatikan adalah biaya pembuatankuda-kuda rumah. Penentuan RincianAnggaran (RAB) pembuatan kuda-kudadapat ditentukan dengan matematika.Untuk mendapatkanrincian biaya tersebut,salah satu konsep yang dapat digunakanadalah dimensi tiga. Konsep yang dimaksud jarak titik dengan titik atau titikdengan garis.Nah, bagaimana cara menghitung panjang kabel yang diperlukan seperti pada pembuatan Jembatan Barelangatau panjang kayu yang diperlukan untuk membuat kuda-kuda untuk atap rumah? Untuk itu kita akan membahas pada modul ini materi jarak dalam ruang bidang dataryang terdiriatasjarak antara titik, jarak titik ke garis, dan jarak titik ke bidang.D. Petunjuk Penggunaan ModulModul ini dirancang untuk memfasilitasi kaliandalam melakukan kegiatan belajar secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut.1.Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.2.Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan. 3.Perhatikancontoh-contoh penyelesaian permasalahan yang disediakan dan kalau memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali.4.Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan kalian dengan kunci jawaban dan pembahasan pada bagian akhir modul.5.Jika menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.6.Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari penguasaan kalian terhadap materi pada kegiatan pembelajaran.7.Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi tersebut agar kalian dapat mengukur penguasaan kalian terhadap materi pada modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan kalian dengan kunci jawaban yang tersedia.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN88.Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan kalian untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.E.Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 3kegiatan pembelajarandandi dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Jarak Titik ke TitikKedua : Jarak Titik ke GarisKetiga: Jarak Titik ke Bidang

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9KEGIATAN PEMBELAJARAN 1JARAK TITIK KETITIK DALAM RUANG BIDANG DATARA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkankalian dapat mendeskripsikan jarak antar titik dalam ruang, menjelaskan prosedur menentukan jarak titik ke titik, dan menentukan jarak titik ke titik dalam ruang bidang datar.B.Uraian MateriKonsep Jarak Titik ke TitikUntuk memahami konsep jarak antara dua titik, mari kita perhatikan dua masalah berikut.Bangun berikut merepresentasikan kota-kota yang terhubung dengan jalan. Titik merepresentasikan kota dan ruas garis merepresentasikan jalan yang menghubungkan kota.Gambar 3. Gambar Kota dan jalan yang menghubungkannyaFaisalberencana menuju kota C berangkat dari kota A. Tulis kemungkinan rute yang ditempuh Faisaldan tentukan panjang rute-rute tersebut. Rute manakah yang terpendek? Menurut pendapat kalianberapa jarak antara kota A dan C? Beri alasan untuk jawaban kalian.Nah, untuk menjawab masalah di atas, kita akan membuat tabel kemungkinan rute yang bisa dilalui Faisal berikut ini.NoKemungkinan rute dari Kota A ke Kota CPanjang Lintasan1A →C302A →B →C21 + 18 = 393A →D →C20 + 25 = 454A →B →D →C21 + 22 + 25 = 685A →D →B →C20 + 22 + 18 = 60Tabel 1. Kemungkinan rute yang ditempuhFaisalDari tabel di atas tampak bahwa rute terpendek dari Kota A ke Kota C adalah rute yang pertama: A →C sepanjang 30 km. Masalah 1

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Jadi, jarak antara kota A dan kota C adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkanantara kota A dan C, yaitu rute A →C sepanjang 30 km.Diketahui dua lingkaran seperti pada gambar berikut.Titik A, B, C, D, dan E terletak pada lingkaran L1dan titik P, Q, R, S, dan T terletak pada lingkaran L2. Ruas garis manakah yang mewakili jarak antara kedua lingkaran tersebut?Gambar 4.Jarak dua titik pada lingkaranNah, untuk menjawab pertanyaan di atas perlu kalian ketahui bahwa dalam geometri, jarak dua bangun didefinisikan sebagai panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut. Coba kalian perhatikan ruas garis-ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran L1dan L2, manakah ruas garis terpendek? Jika CR adalah ruas garis terpendek di antara semua ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran tersebut, maka ruas garis CR disebut jarak antara lingkaran L1dan lingkaran L2. Nah, dari dua masalah di atas kita dapat menyimpulkan jarak antara dua titik seperti berikut ini.“Jarak titik ke titik adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik tersebut.”Contoh 1.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 20 cm. Hitunglah jarak antara titik-titik berikut.a.B ke Fb.A ke Dc.G ke Hd.A ke Ce.H ke Bf.G ke titik tengah ABMasalah 2ABCDEFGHABjarak AB

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11Jawab: a.Jarak titik B ke F diwakili oleh panjang ruas garis (rusuk) BF. Jadi, jarak titik Bke F adalah 20 cm.b.Jarak titik A ke D diwakili oleh panjang ruas garis (rusuk) AD. Jadi, jarak titik A ke D adalah 20 cm.c.Jarak titik G ke H diwakili oleh panjang ruas garis (rusuk) GH. Jadi, jarak titik G ke H adalah 20 cm.d.Jarak titik A ke C diwakili oleh panjang ruas garis AC. Ruas garis AC merupakan diagonal bidang alas ABCD.Darigambar di atas, kita perhatikan bahwa segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B. Berdasarkan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan:AC2=AB2+BC2(TeoremaPythagoras)=202+202(panjang AB = BC = 20 cm)=400+400=4002AC =√400×2=20√2(√400×2=√400×√2=20√2)Jadi, jarak titik A ke C adalah 20√2cm.e.Jarak titik Hke Bdiwakili oleh panjang ruas garis HB. Ruas garis HBmerupakandiagonal ruang kubusABCD.EFGH.Dari gambar di atas, kita perhatikan bahwa segitiga BDH adalah segitiga siku-siku di D. Ruas garis BD adalah diagonal bidang alas ABCD, sehingga BD = AC = 20√2cm (hasil perhitungan pada bagian d).BA20 cmCD20 cmABCDEFGHABCDEFGHDHB20 cm20√2cm

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN12ABCDEFGHPPBG20√2cm10 cmPerhatikan segitiga BDH, berdasarkan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan:HB2=BD2+DH2(Teorema Pythagoras)=(20√2)2+202(panjang BD = 20√2cm dan rusuk DH = 20 cm)=800+400=1200=4003HB=√400×3=20√3Jadi, jarak titik Hke Badalah20√3cm.f.Misalkan P adalah titik tengah AB. Jarak titik G ke titik tengah ABdiwakili oleh panjang ruas garis GP seperti ditunjukkan pada gambar berikut.Dari gambar di atas, kita perhatikan bahwa segitiga BGP adalah segitiga siku-siku di B.Ruas garis BG adalah diagonal bidang alas BCGF, sehingga BG = 20√2cm (panjang BG = AC = BD, semuanya adalah diagonal bidang kubus ABCD.EFGH).Perhatikan segitiga BGP, berdasarkan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan:GP2=BG2+BP2(Teorema Pythagoras)=(20√2)2+102(panjang BD = 20√2cm dan rusuk DH = 20 cm)=800+100=900GP =√900=30Jadi, jarak titik G ke P titik tengah ABadalah30 cm.Contoh 2. Andimempunyai kamar tidur yang berukuran 3m × 3m × 4m. Tepat di tengah plafonkamar Andidipasang lampu.Jika saklar lampu diletakkan tepat di tengah salah satu dinding kamar, berapakah jarakdarilampu kesaklar?Jawab: Kamar Andi berukuran 3m × 3m × 4m, berarti panjang kamar 3 m, lebar 3 m, dan tinggi 4 m. Jarak antara lampu dan saklar dapatdiilustrasikan seperti gambar berikut.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN13Misalkan lampu (L), saklar (S)berada di dinding ADHE, dan P adalah titik tengah EH.Jarak antara lampu dan saklar adalah LS.Panjang ruas garis PS = 12AE = 12(4 m) = 2 m.Panjang ruas garis PL = 12EF = 12(3 m) = 32mPerhatikan segitiga LPS siku-siku di P, berdasarkan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan:LS2=LP2+PS2(Teorema Pythagoras)=(32)2+22(panjang LP = 32cm dan rusuk PS = 2 cm)=94+4=94+164=254LS=√254=52=2,5Jadi, Panjang kabel terpendek yang diperlukan Andi untuk menghubungkan lampu dan saklar adalah 2,5 meter.Contoh3Diketahui limas T.ABCD seperti pada gambar di samping. ABCD merupakan persegi dengan panjang rusuk 6 cm. TA = TB = TC = TD = 5 cm dan M adalah titik tengah AC. Hitung jarak antara titik T dan titik M.Jawab:Perhatikan segitiga ABC, siku-siku di B, berarti:AC2=AB2+BC2(Teorema Pythagoras)=62+62(panjang AB = BC= 6 cm)=36+36=36×2AC =√36×2=6√2Titik M adalah titik tengah AC, sehingga AM =CM= 12AC = 12(6√2)=3√2cm.ABCDEFGH3 m3 m4 mSLPSPL2 m32mTABCDM

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14Perhatikan segitiga CMT, siku-siku di M, berarti:TC2=CM2+TM2(Teorema Pythagoras)TM2=TC2−CM2=52−(3√2)2(panjang TC= 5cmdan CM = 3√2cm)=25−18=7TM=√7Jadi, jarak antara titik T dan titik M adalah√7cmyang merupakan tinggi dari limas T.ABCD.C.Rangkuman•Jarak titik ke titik adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik tersebut.•Dalam geometri, jarak dua bangun didefinisikan sebagai panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut.D.Latihan Soal1.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Hitunglah jarak antar titik-titik berikut.a.titik A dan Gb.titik D dan Fc.titik B dan titik tengah garis EGd.titik E dan titik tengah garis BG2.Diketahui limas beraturan P.QRST dengan panjang RS = 8 cm dan PR = 12 cm, seperti pada gambar. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, hitung jarak antar titik berikut.a.titik P dan titik tengah RSb.titik P dan titik perpotongan QS dan RTTABCDMCMT5 cm3√2cm

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN153.Diketahui limas beraturan T.ABC dengan bidang alas berbentuk segitiga sama sisi. TA tegak lurus dengan bidang alas. Jika panjang AB = 4√2cm dan TA = 4 cm, tentukan jarak antara titik T dan C.4.Perhatikan limas segi enam beraturan berikut.Diketahui panjang AB = 10 cm dan TA = 13 cm. Titik O merupakan titik tengah garis BE. Tentukan jarak antara titik T dan titik O.5.Perhatikan bangun berikut ini.Jika diketahui panjang AB = 5 cm, AE = BC = EF = 4 cm, maka tentukan:a. Jarak antara titik A dan Cb. Jarak antara titik E dan Cc. Jarak antara titik A dan G6.Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan AE = 9 cm. Titik M merupakan titik potong antara diagonal AC dan BD. Rusuk CG diperpanjang 3 cm, kemudian dari titik M ditarik garis miring sehingga memotong perpanjangan rusuk CG di titik N. Hitung panjang ruas garis MN yang terjadi dan buat sketsa permasalahan tersebut.7.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada pertengahan garis AB, BC, dan bidang ADHE. Tentukan jarak antar titik berikut.a.titik P ke titik Rb.titik Q ke titik R8.Pada gambar di bawah menunjukkan piramida terpotong ABCD.EFGH tegak beraturan dengan ABCD dan EFGH merupakan persegi yang saling sejajar dengan AB = 12 cm, EF = 8 cm, dan AE = BF = CG = DH = 10 cm. Hitung jarak antar titik.a.E dan Gb.A dan Cc.titik potong diagonal HF dan EGdengan titik potong AC dan BD.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN16PEMBAHASAN LATIHAN SOAL KEGIATAN PEMBELAJARAN 11.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Hitunglah jarak antar titik-titik berikut.a.Jarak titik A ke G adalah panjang diagonal ruang AG = 8√3cm.b.Jarak titik D ke F adalah panjang diagonal ruang DF = 8√3cm.c.Misalkan M adalah titik tengah EG. Jarak titik B dan titik tengah garis EG adalah panjang ruas garis BM.BG adalah diagonal bidang, sehingga BG = 8√2cmEG adalah diagonal bidang, sehingga EG = 8√2cm dan GM = ½ EG = 4√2cmPerhatikan BMG siku-siku di M, sehingga diperoleh:BM2=BG2−GM2BM=√BG2−GM2=√(8√2)2−(4√2)2=√128−32=√96=4√6Jadi, jarak titik B dan titik tengah garis EG adalah BM = 4√6cm.d.Misalkan Nadalah titik tengah EG.Jarak titik E dan titik tengah garis BG adalah panjang ruas garis EN.BG adalah diagonal bidang, sehingga BG = 8√2cmCFadalah diagonal bidang, sehingga CF= 8√2cm dan FN= ½ CF= 4√2cmPerhatikan EFNsiku-siku di F, sehingga diperoleh:EN2=EF2−FN2EN=√EF2−FN2=√82−(4√2)2=√64−32=√32=4√2Jadi, jarak titik Edan titik tengah garis BGadalah EN= 4√2cm.2.Diketahui limas beraturan P.QRST dengan panjang RS = 8 cm dan PR = 12 cm.a.Jarak titik P ketitik tengah RSadalah panjang ruas garis PN.Perhatikan PNR siku-siku di NNR = ½ RS = ½ (8) = 4 cmPR = 12 cmDengan Teorema Pythagoras diperoleh:PN2= PR2–NR2PN = √PR2−NR2=√122−42=√144−16=√128=8√2Jarak titik P ketitik tengah RSadalah 8√2cm.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN17b.titik P ketitik perpotongan QS dan RTJarak titik P ketitik perpotongan QS dan RTadalah panjang ruas garis PO.Perhatikan POQ siku-siku di OQS adalah diagonal bidang alas persegi dengan rusuk 8 cm, sehingga QS = 8√2cm.QO = ½ QS = ½(8√2) = 4√2cm.PQ = 12 cmDengan Teorema Pythagoras diperoleh:PO2= PQ2–QO2PO = √PQ2−QO2=√122−(4√2)2=√144−32=√112=4√7Jarak titik P ketitik perpotongan QS dan RTadalah 4√7cm.3.Diketahui limas beraturan T.ABC dengan bidang alas berbentuk segitiga sama sisi. TA tegak lurus dengan bidang alas. Jika panjang AB = 4√2cm dan TA = 4 cm, tentukan jarak antara titik T dan C.Alternatif Penyelesaian:TA ⊥AC, sehinggaTC2= AC2+ TA2TC = √AC2+TA2=√(4√2)2+42=√32+16=√48=4√3Jadi, titik T ke titikCadalah 4√3cm.4.Perhatikan limas segi enam beraturan berikut.Diketahui panjang AB = 10 cm dan TA = 13 cm. Titik O merupakan titik tengah garis BE. Tentukan jarak antara titik T dan titik O.Alternatif Penyelesaian:Bidang alas merupakan segi enam beraturan dengan, berarti segitiga AOB adalah segitiga sama sisi, sehingga: OA = AB = 10 cmPerhatikan TOA siku-siku di O, dengan Teorema Pythagoras diperolehTO2= TA2−OA2TO = √TA2−OA2=√132−102=√169−100=√69Jadi, titik T ke titikO adalah √69cm.O

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN185.Perhatikan bangun berikut ini.Jika diketahui panjang AB = 5 cm, AE = BC = EF = 4 cm, maka tentukan:a. Jarak antara titik A dan Cb. Jarak antara titik E dan Cc. Jarak antara titik A dan GAlternatif Penyelesaian:a.𝐴𝐶=√AB2+𝐵𝐶2=√52+42=√25+16=√41cm.b.𝐸𝐶=√AE2+𝐴𝐶2=√42+(√41)2=√16+41=√57cm.c.𝐴𝐺=√AH2+𝐻𝐺2=√(4√2)2+42=√32+16=√48cm.6.Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan AE = 9 cm. Titik M merupakan titik potong antara diagonal AC dan BD. Rusuk CG diperpanjang 3 cm, kemudian dari titik M ditarik garis miring sehingga memotong perpanjangan rusuk CG di titik N. Hitung panjang ruas garis MN yang terjadi dan buat sketsa permasalahan tersebut.Alternatif Penyelesaian:Perhatikan sketsa permasalahan pada gambar.Perhatikan ABC siku-siku di B, diperoleh:(AC)2= (AB)2+ (BC)2= 82+ 62= 64 + 36 = 100AC = √100= 10dan MC = AM = ½ AC = 5cmCN = CG + GN CN = 9 + 3 = 12 cmPerhatikan MCB siku-siku di C, berarti(MN)2= (MC)2+ (CN)2= 52+ 122= 25 + 144 = 169MN = √169= 13Jadi, panjang ruas garis MN adalah 13 cm.7.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada pertengahan garis AB, BC, dan bidang ADHE. Tentukanjarak antar titik berikut.a.titik P ke titik Rb.titik Q ke titik RAlternatif Penyelesaian:a.PAR siku-siku di A dan AP = ½ AB = 3 cm dan AR = 12AH=12√AD2+DH2=12√62+62=12√72=3√2cm. Sehingga:PR = √AP2+AR2=√32+(3√2)2=√9+18=√27=3√3Jadi, titik P ke titik R adalah 3√3cm.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN19b. QRSsiku-siku di Sdengan QS= AB = 6cm, dan RS = ½ AE = ½(6) = 3 cm, sehingga diperolehQR = √QS2+RS2=√62+32=√36+9=√45=3√5Jadi, jarak titik Q ke titik R adalah 3√5cm.8.Pada gambar di bawah menunjukkan piramida terpotong ABCD.EFGH tegak beraturan dengan ABCD dan EFGH merupakan persegi yang saling sejajar dengan AB = 12 cm, EF = 8 cm, dan AE = BF = CG = DH = 10 cm. Hitung jarak antar titik.a.E dan Gb.A dan Cc.titik potong diagonal HF dan EG dengan titik potong AC dan BD.Alternatif Penyelesaian:a.Jarak titik E ke G adalah panjang diagonal bidang atas EFGH, sehingga panjang EG = 8√2cm.b.Jarak titik A ke C adalah panjang diagonal bidang alas ABCD, sehingga panjang AC = 12√2cm.c.Jarak titik potong diagonal HF dan EG dengan titik potong AC dan BD adalah jarak titik M ke titik N.Jarak M ke N atau MN = PGPerhatikan gambar, CP = AQ dan CP + AQ = AC –EG = 12√2−8√2=4√2cm.Sehingga CP = 12(4√2)=2√2cm.Perhatikan CPG siku-siku di P, sehingga dengan Teorema Pythagoras diperolehPG2=CG2−CP2PG=√CG2−CP2=√102−(2√2)2=√100−8=√92=2√23Jadi, Jarak titik potong diagonal HF dan EG dengan titik potong AC dan BD adalah MN = PG = 2√23cmMNP10 cm12 cm8 cmQ

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN20E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaiansecara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda pada kolom pilihan.NoPertanyaanYaTidak1Apakah Anda tahu yang dimaksud ruang bidang datar?2Apakah Anda tahu Teorema Pythagoras dan penggunaannya?3Apakah Anda dapat menggambar bangun ruang bidang datar seperti kubus, balok, limas, dan prisma?4Apakah Anda dapat membedakan rusuk, diagonal bidang, dan diagonal ruang?5Apakah Anda tahu prosedur menentukan jarak antar dua titik?6Apakah Anda dapat menentukan jarak antar dua titik pada ruang bidang datar?JUMLAHCatatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaranberikutnya.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN21KEGIATAN PEMBELAJARAN 2JARAK TITIK KE GARIS DALAM RUANG BIDANG DATARA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 2ini diharapkan kalian dapat mendeskripsikan jarak titik ke garis dalam ruang, menjelaskan prosedur menentukan jarak titik ke garis, dan menentukan jarak titik ke garisdalam ruang bidang datar.B.Uraian MateriKonsep Jarak Titik ke GarisPada gambar di bawah, titik A terletak di luar garis g. Bagaimana menentukan jarak antara titik A dan garis g?Coba kalian ingat kembali materi jarak titik ke titik pada Kegiatan Pembelajaran 1, yaitu jarak titik ke titikadalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik-titik tersebut. Nah, jika kita ingin mencari jarak antara titik A ke garis g, maka kita perlu membuat sebuah titik yang terletak di garis g,lalu menarik sebuah ruas garisterpendekdari titik A ke titik pada garis gtersebut.Manakah ruas garis terpendek? Tentunya ruas garis terpendek adalah ruas garis AB yang tegak lurus (membentuk sudut siku-siku) dengan garis g. Mengapa demikian?Coba kalian perhatikan ruas garis AB dan AC. Terlihat bahwa ABC membentuk segitiga siku-sikudi Bdengan AC merupakan sisi miring. Nah, tentunya kalian masih ingat bahwa sisi miring merupakan sisi terpanjang pada sebuah segitiga siku-siku. Ini berarti bahwa ruas garis AB lebih pendek dari AC. Demikian halnya jika kita membuat ruasgaris lainnya dariA ke garis g, misalnya AD. Tentunya akan terbentuk segitiga ABD siku-siku di B dengan AD merupakan sisi miring. Berarti AD pun lebih panjang dari AB, dan demikian seterusnya. Jadi, ruas garis terpendek adalah ruas garis AB. Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa jarak titik A ke garis gadalah panjang ruas garis AB, yaitu ruas garis tegak lurus antar titik A ke garis g.Dalam hal ini, titik B biasa disebut sebagai proyeksi titik A terhadap garis g.Mari Mengamatiyang mana ruas garis terpendek ya...?

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN22Pengertian Jarak Titik ke Garis“Misal Aadalah titik dan gadalah garis. Jarak titik Ake garis gadalah panjang ruas garis ABdengan Bterletak di garis 𝑔, dan ABtegak lurus garis 𝑔”.Prosedur Menghitung Jarak Titik ke GarisLangkah-langkah untuk menghitung jarak titik A ke garis gsebagai berikut.a.Hubungkan titik A ke titik C dan titik D sehingga terbentuk segitiga ACD.b.Hitung jarak antar dua titik, yaitu AC, AD, dan CD untuk menetapkan jenis segitiga.c.Hitung tinggi segitiga ACD, yaitu AB yang merupakan jarak titik A ke garis g.Dari langkah-langkah di atas, ada3 jenis segitiga ACD yang mungkin terbentuk. Berikut ini cara menghitung panjang ruas garis AB atau jarak titik A ke garis g.ACD sama kakiACD sama kaki, sehingga BC = BD = 12CDDengan Teorema Pythagoras diperoleh:AB2=AD2−(12CD)2atau AB2=AD2−BD2atau AB2=AD2−BC2ACD siku-siku di AGunakan rumus luas ACDLuas ACD = 12×CD×ABatauLuas ACD = 12×AC×ADSehingga diperoleh:12×CD×AB=12×AC×ADCD×AB=AC×ADAB=AC×ADCDACD sembarangx+ y= AB →y= AB –xRumus yang dipakai:AB2=AD2−𝑦2atauAB2=AC2−𝑥2ACBDAC = ADABCDABCDxy

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN23Contoh 1.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6cm. Berapakah jarak titik A ke diagonal bidang BE?Jawab: Perhatikan gambar.Jika titik B dan E dihubungkan dengan ruas garis, maka diperoleh,Jarak titik A ke bidang diagonal BE adalah panjang ruas garis AM dengan BM = 12BE, karena segitiga ABE merupakan segitiga sama kaki (AB = AE).Dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh,AM2=AB2−BM2Terlebih dulu ditentukan panjang BE. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh,BE2=AB2+AE2=62+62=62×2BE=√62×2=6√2Sehingga panjang BM = 12BE=12(6√2)=3√2.Dengan demikian diperoleh,AM2=AB2−BM2=62−(3√2)2=36+18=54AM=√54=√9×6=3√6Jadi, jarak titik A ke diagonal bidang BE adalah 3√6cm.Catatan: Pada kubus dengan panjang rusuk a,maka:•Panjang diagonal bidang adalah 𝑎√2.•Panjang diagonal ruang adalah 𝑎√3.ABCDEFGHAEM6 cmB6 cmaaa

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN248 cmABCGHEDFHGANNContoh 2.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8cm. Hitunglahjarak titik Hke garis AG.Jawab: Perhatikan gambar. Titik N terletak pada garis AG, dan ruas garis HN tegak lurus garis AG.Pada gambar di atas terlihat AHG siku-siku di H dan garis tinggi HN. Berdasarkan Teorema Pythagoras, AH merupakan diagonal bidang kubus berarti AH = 8√2cm dan AG merupakan diagonal ruang kubus, berarti AG = 8√3cm.Kita akan menghitung luas AHG dalam dua sudut pandang, yaitu Luas AHG= 12×AH×GHatau Luas AHG = 12×AG×HNSehingga diperoleh,12×AH×GH=12×AG×HN8√2×8=8√3×HNHN=8√2×88√3HN=8√2√3×√3√3HN=83√6Jadi, jarak titik H ke garis AG adalah 83√6cm.Contoh 3.Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB = 3 cm dan TA = 6 cm. Tentukan jarak titik B ke rusuk TD.Jawab: Misal P proyeksi titik B ke ruas garis TD. Jarak titik B ke rusuk TD adalah BP.Rasionalkan penyebut

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN25TOBDPPerhatikan bidang alas ABCD dengan panjang rusuk 3 cm. Dengan Teorema Pythagoras diperolehBD2=AB2+AD2=32+32=32×2BD =√32×2=3√2Panjang OB = OD = 12BD=12(3√2)=32√2cm.Dengan Teorema Pythagoras, tinggi limas TO adalahTO2=TB2−OB2=62−(32√2)2=36−92=632TO=√632=√9×72×22=32√14Perhatikan segitiga TBD.Kita akan menghitung luas TBD dalam dua sudut pandang, yaitu Luas TBD = 12×BD×TOatau Luas TBD = 12×TD×BPSehingga diperoleh,12×BD×TO=12×TD×BPBP=BD×TOTDBP=3√2×32√146BP=92√286=92√4×76=9√76=32√7Jadi, jarak titik B ke rusuk TDadalah 32√7cm.C.Rangkuman•Misal A adalah titik dan gadalah garis. Jarak titik A ke garis gadalah panjang ruas garis AB dengan B terletak di garis 𝑔, dan AB tegak lurus garis 𝑔.Titik B disebut pula proyeksi titik A terhadap garis g.•Jarak titik A ke garis gmerupakan panjang garis tinggi yang melalui titik A pada segitiga ABC dimana titik B dan C terletak pada garis g. •Teorema Pythagoras dan rumus luas segitigasangat penting untuk menghitung jarak suatu titik ke garis dalam ruang bidang datar.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN26D.Latihan Soal1.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Titik T merupakan titik tengah CG. Hitung jarak titik T ke garis HB.2.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10cm.Hitung jarak titik H ke garis AC.3.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6cm. Titik T adalah titik tengah CG. Hitung jarak titik E ke garis BT.4.Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan AB = BC = 5√2cm dan TA = 13 cm. Hitung jarak titik A ke garis TC.5.Diketahui limas segi enam beraturan T.ABCDEF dengan panjang rusuk AB = 10 cm dan AT =13 cm.Tentukan jarak antara titik B dan rusuk TE.6.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah BC. Tentukan jarak M ke EG7.Perhatikan limas segi empat beraturan berikut.Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB dan AD. Jikapanjang AB = TA = 12 cm, tentukan jarak antara titik T dan garis PQ.8.Perhatikan gambar limas segitiga beraturan berikut.Titik E merupakan titik tengah rusuk CD. Panjang BC = 8cm dan AB = 4√2cm. Hitung jarak titik A ke garis BE.ABDCE4√2cm8cm

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN27PEMBAHASAN LATIHAN SOAL KEGIATAN PEMBELAJARAN 21.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Titik T merupakan titik tengah CG. Hitung jarak titik T ke garis HB.Alternatif Penyelesaian:Perhatikan gambar, BT = TH, sehingga BTH adalah segitiga sama kaki.TB2= BC2+ TC2= 122+ 62= 144 + 36 = 180TB = √180=6√5cmHB adalah diagonal ruang, sehingga HB = 12√3cm.Karena BTH, maka OB = OH = 12HB=12(12√3)=6√3cm.Perhatikan BTH, jarak titik T ke garis HB adalah panjang ruas garis OT. Dengan Teorema Pythagoras diperoleh:(OT)2= (TB)2–(OB)2OT=√TB2−OB2=√(6√5)2−(6√3)2=√180−108=√72=6√2Jadi, titik T ke garis HB adalah 6√2cm.2.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitung jarak titik H ke garis AC.Alternatif Penyelesaian:Perhatikan ACH, AC, AH, dan CH merupakan diagonal bidang kubus, berarti ACH adalah segitiga sama sisi. AC = AH = CH = 10√2cm.Dengan demikian, jarak titik H ke garis AC merupakan garis tinggi dari ACH, yaitu OH.OA = 12AC=12(10√2)=5√2cm.AOH siku-siku di O, dengan Teorema Pythagoras diperoleh:(OH)2= (AH)2–(OA)2OH=√AH2−OA2=√(10√2)2−(5√2)2=√200−50=√150=5√6Jadi, jarak titik H ke garis AC adalah 5√6cm.3.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik T adalah titik tengah CG. Hitung jarak titik E ke garis BT.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN28Alternatif Penyelesaian:Perhatikan BCT siku-siku di C, sehingga:(BT)2= (BC)2+ (CT)2BT=√62+32=√36+9=√45=3√5Perhatikan EGT siku-siku di G, sehingga:(ET)2= (EG)2+ (GT)2ET=√(6√2)2+32=√72+9=√81=9Panjang BE = 6√2, karena BE adalah diagonal bidang kubus.Perhatikan EBT di samping. EBT merupakan segitiga sembarang.Berdasarkan Teorema Pythagoras pada ESB diperoleh:(ES)2= (EB)2−(BS)2(ES)2= (6√2)2−𝑥2Berdasarkan Teorema Pythagoras pada EST diperoleh:(ES)2= (ET)2−(TS)2(ES)2= 92−(3√5−𝑥)2Sehingga diperoleh:(6√2)2−𝑥2=92−(3√5−𝑥)272−𝑥2=81−(45−6𝑥√5+𝑥2)72=81−45+6𝑥√572=36+6𝑥√5𝑥=366√5=6√5=65√5Substitusikan nilai xke ekspresi (ES)2= (6√2)2−𝑥2, diperoleh:(ES)2= (6√2)2−(65√5)2(ES)2= 72−365=3245ES=√3245=18√5=185√5Jadi, jarak titik E ke BT adalah 185√5cm.4.Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan AB = BC = 5√2cm dan TA = 13 cm. Hitung jarak titik A ke garis TC.Alternatif Penyelesaian:Misal P proyeksi titik Ake ruas garis TC. Jarak titik Ake rusuk TCadalah AP.AC diagonal bidang alas, AC = 5√2.(√2)=10OA = OC = 12.AC = 12.(10)=5TO = √TC2−OC2=√132−529cmETBS6√2cm𝑥3√5−𝑥

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN29=√169−25=√144=12Luas TBC dapat dihitung dengan dua sudutpandang, yaitu:12×AC×TO = 12×TC×APAP =AC×TOTC=10×1213=12013Jadi, jarak titik A ke garis TC adalah 12013cm.5.Diketahui limas segi enam beraturan T.ABCDEF dengan panjang rusuk AB = 10 cm dan AT =13 cm.Tentukan jarak antara titik B dan rusuk TE.Alternatif Penyelesaian:Alas limas berbentuk segi enam beraturan, berarti OE = OB = AB = 10 cmMisal jarak titik B ke rusuk TE adalah panjang ruas garis BP.TO = √TE2−OE2=√132−102=√169−100=√69Luas TEB = Luas TBE12×BE×TO = 12×TE×BPBP =BE×TOTE=20×√6913=20√6913Jadi, jarak titik B kerusuk TEadalah 20√6913cm.6.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik M adalahtitik tengah BC. Tentukan jarak M ke EGAlternatif Penyelesaian:Misal jarak M ke ruas garis EG adalah PMPerhatikan segitiga BOC dan MNC, segitiga tersebut sebangun, sehinggaMNMC=BOBC→MN=BOBC.MC=4√28.4=2√2PM=√PN2+MN2=√82+(2√2)2=√64+8=√72=6√2Jadi, jarak M ke EGadalah 6√2cm.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN307.Perhatikan limas segi empat beraturan berikut.Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB dan AD. Jikapanjang AB = TA = 12 cm, tentukan jarak antara titik T dan garis PQ.Alternatif Penyelesaian:TP=√TB2−PB2=√122−62=√144−36=√108=6√3cm.Misal S adalah titik tengah QP. Jarak titik T dan garis PQ adalah TS.BD diagonal bidang, BD = 12√2cmAPQ dan ABD sebangun , sehingga diperoleh:APAB=PQBD→PQ=APAB×BD=612×12√2=6√2PS=12PQ=12(6√2)=3√2TS=√TP2−PS2=√(√108)2−(3√2)2=√108−18=√90=3√10Jadi, jarak antara titik T dan garis PQadalah 3√10cm.8.Perhatikan gambar limas segitiga beraturan berikut.Titik E merupakan titik tengah rusuk CD. Panjang BC = 8 cm dan AB = 4√2cm. Hitung jarak titik A ke garis BE.Alternatif Penyelesaian:O adalah titik berat BCD. Proyeksi titik A pada bidang BCD adalah titik O.Perhatikan BCE.ABD4√2cmE8cmCO

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN31BE=√(BC)2−(CE)2=√122−62=√144−36=√108=6√3BO=23BE=23(6√3)=4√3Perhatikan ABOAO=√(AB)2−(BO)2=√(6√2)2−(4√3)2=√72−48=√24=2√6Jadi, titik A ke garis BE adalah AO = 2√6cm.E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai denganyang kalian ketahui, berilah penilaiansecara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda pada kolom pilihan.NoPertanyaanYaTidak1Apakah Anda dapat membedakan jenis segitiga?2Apakah Anda tahu cara menghitung luas segitiga?3Apakah Anda dapat menggambar bangun ruang bidang datar seperti kubus, balok, limas, dan prisma?4Apakah Anda dapat membedakan rusuk, diagonal bidang, dan diagonal ruang?5Apakah Anda tahu prosedur menentukan jarak titikke garis?6Apakah Anda dapat menentukan jarak titik ke garis pada ruang bidang datar?JUMLAHCatatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaranberikutnya.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN32PQgaris mbidang KEGIATAN PEMBELAJARAN 3JARAK TITIK KE BIDANG PADA RUANG BIDANG DATARA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 3ini diharapkan kalian dapat mendeskripsikan jarak titik ke bidang dalam ruang, menjelaskan prosedur menentukan jarak titik ke bidang, dan menentukan jarak titik ke bidangdalam ruang bidang datar.B.Uraian MateriKonsep Jarak Titik ke BidangTiang penyangga dibuat untuk menyangga atap suatu gedung. Tiang penyangga ini menghubungkan suatu titik pada salah satu sisi gedung dan suatu titik pada bidang atap seperti ditunjukkan pada Gambar 1.Gambar 1. Tiang Penyangga Atap bangunanSumber:https://idea.grid.id/read/09691558/batu-alam-mencerahkan-tampilan-fasad Apabila dibuat gambar tampak samping diperoleh seperti pada Gambar 2.Dari Gambar 2,cermati gambar kayu penyangga dan atap. Dapatkah Anda menentukan kondisi atau syarat agar panjang kayu penyangga seminimal mungkin?Gambar 2. Tampak Samping Tiang Penyangga Atap BangunanPerhatikan gambardi samping.Titik P terletak di luar bidang.Jarak titikPke bidangmerupakan panjang ruas garis tegak lurus yang menghubungkan titik P ke titik tembus pada bidang .Panjang ruas garis PQ = jarak titik P ke bidang .Mari MengamatiAyo Mengamati

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN33Langkah-langkah menentukan jarak titik Pke bidang sebagai berikut:1.Dari titik P, tarik garis myang tegak lurus terhadap bidang . Ingat garis mtegak lurus bidang apabila garis msedikitnya tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang .2.Tentukan titik tembus garis mterhadap bidang . Misalkan titik tembus ini adalah titik Q, jarak titik Pke bidang adalah panjang ruas garis PQ.Pengertian Jarak Titik ke Bidang“Misal P adalah titik dan adalah bidang. Jarak antara P dengan bidang adalah panjang ruas garis dari 𝑃𝑄, dengan 𝑄di bidang α dan 𝑃𝑄tegak lurus bidang α”.Contoh 1.Diketahui kubus ABCD.EFGH. Manakah yang merupakan jarak antara titik dan bidang berikut.a.titik B kebidang DCGH?b.titik Fkebidang ADHE?c.titik Dkebidang EFGH?d.titik Akebidang BDHF?Jawab:(a) dan (b)(c)(d)a.Jarak titik B kebidang DCGHadalah panjang ruas garis BC, karenaruas garisBC tegak lurus bidang DCGH.b.Jarak titik Fke bidang ADHEadalah panjang ruas garis FE, karena ruas garis FEtegak lurus bidang ADHE.c.Jarak titik Ddengan bidang EFGHadalah panjang ruas garis DH, karena ruas garus DHtegak lurus bidang CDHG.d.Jarak titik Adengan bidang BDHFadalah panjang ruas garis AO, karena ruas garis AOtegak lurus bidang BDHF.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN34Contoh 2.Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6cm. Titik A, F, G, dan D dihubungkan sehingga terbentuk bidang AFGD seperti gambar di samping. Berapakah jarak titik B ke bidang AFGD?Jawab:Untuk menentukan jarak titik B ke bidang AFGD dapat ditentukan dengan mencari panjang ruas garis yang tegak lurus dengan bidang AFGD dan melalui titik B.Ruas garis BT tegak lurus dengan bidang AFGD, sehingga jarak titik B ke bidang AFGD adalah panjang ruas garis BT.Titik T adalah titik tengah diagonal AF, karena diagonal AF dan BE pada kubus berpotongan tegak lurus, dan perpotongannya di titik T.Panjang diagonal AF = 6√2, sehingga panjang AT = 12AF=12(6√2)=3√2.Karena BT tegak lurus bidang AFGD, maka segitiga ATB adalah segitiga siku-sikudi T. Dengan Teorema Pythagoras diperolehTB2=AB2−AT2=62−(3√2)2=36−18=18TB=√18=√9×2=3√2Jadi, jarak titik B ke bidang AFGD adalah 3√2cm.Contoh 3.Diberikan limas T.ABCD dengan alas persegi. Titik O adalah perpotongan diagonal AC dan BD. Jika AB = BC = CD = AD = 6 cm, TA = TB = TC = TD = 3√6cm dan tinggi limas TO = 6 cm, berapakah jarak antara titik O dengan bidang TBC?Jawab:Untuk menentukan jarak titik O ke bidang TBC, dibuat ruas garis OP dengan OP sejajar AB.OP = 12AB=12(6)= 3 cm dan TO = 6 cm.Misal titik R terletak pada bidang TBC, titik R terletak pada TP dan TP terletak pada bidang TBC dan OR tegak lurus TP.Perhatikan segitiga TOP siku-siku di O, sehinggadengan Teorema Pythagoras diperolehTP2=TO2+OP2=62+32=36+9=45TP=√45=√9×5=3√5

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN35Jarak titik O ke bidang TBC adalah panjang ruas garis OR.Panjang ruas garis OR dapat dihitung dengan menggunakan Luas POT dari dua sudut pandang, yaituLuas POT = 12×OP×TO=12×OR×TPSehingga diperolehOP×TO=OR×TPOR=OP×TOTPOR=3×63√5=6√5=65√5Jadi, jarak titik O ke bidang TBC adalah65√5cm.Contoh 4.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Buat ilustrasi kubus dan langkah menentukan jarak titik F ke bidang BEG. Kemudian hitunglah jarak titik F ke bidang BEG.Jawab:Langkah menentukan jarak titik F ke bidang BEG.a.Hubungkan titik F dengan titik H,diperoleh perpotongan ruas garis HF dengan BEG. Misal perpotongan tersebut titik O.b.Hubungkan titik O dengan titik B. Karena titik O dan titik B terletak pada bidang BEG, ruas garis OB terletak pada bidang BEG.c.Misal P adalah proyeksi titik F pada bidang BEG. Jarak titik F ke bidang BEG adalah panjang ruas garis FP.FH adalah diagonal bidang, sehingga panjang FH = 9√2cm.Panjang OF=12FH=92√2cm.Segitiga BOF siku-siku di F, sehingga dengan Teorema Pythagoras diperolehBO2=BF2+OF2=92+(92√2)2=81+812=2432OBFP92√2cm9 cm

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN36BO=√2432=√81×32=9√32=92√6Panjang ruas garis FP dapat dihitung dengan menggunakan Luas BOFdari dua sudut pandang, yaituLuas BOF = 12×OF×BF=12×OB×FPSehingga diperolehOF×BF=OB×FPFP=OF×BFOBFP=92√2×992√6=9√2√6=9√3=3√3FP=9√2√2×√3=9√3=9√3×√3√3=3√3Jadi, jarak titik F ke bidang BEG adalah3√3cm.C.Rangkuman•Misal P adalah titik dan α adalah bidang. Jarak antara P dengan bidang α adalah panjang ruas garis dari 𝑃𝑄, dengan 𝑄di bidang α dan 𝑃𝑄tegak lurus bidang α.•Suatu garis gdikatakan tegak lurus bidang αapabila garis gsedikitnya tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang α.•Teorema Pythagoras dan rumus luas segitiga sangat penting untuk menghitung jarak suatu titik ke bidangdalam ruang bidang datar.D.Latihan Soal1.Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 8cm. Titik Q adalah titik tengah rusuk BF. Tentukan jarak titik H ke bidang ACQ.2.Suatu kepanitiaan membuat papan nama dari kertas yang membentuk bangun seperti berikut.Ternyata ABE membentuk segitiga sama sisi, panjang BF = 13 cm danBC = 12 cm. Tentukan jarak antara titik A dan bidang BCFE!3.Dari gambar di bawah, jika diketahui panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan EC = 5√5cm, tentukan jarak antara titik B dan bidang ACE.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN374.Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC. Panjang AB = 6 cm dan TA = 8 cm. Tentukan jarak antara titik T dengan bidang ABC.5.Diketahui luas permukaan kubus ABCD.EFGH adalah 294 cm2. Tentukan:a. Jarak antara titik F ke bidang ADHE.b. Jarak antara titik Bke bidang ACH.6.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk acm. P dan Q masing-masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik potong EG dan FH. Tentukan jarak titik R ke bidang EPQH.7.Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan AB = 8cm dan TA = 12 cm. Hitung jarak titik T ke bidang ABCD.8.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjangrusuk 12 cm. Hitung jarak titik G ke bidang BDE.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN38PEMBAHASAN LATIHAN SOAL KEGIATAN PEMBELAJARAN 31.Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 8cm. Titik Q adalah titik tengah rusuk BF. Tentukan jarak titik H ke bidang ACQ.Alternatif Penyelesaian:HO ⊥AC sehingga jarak titik H ke bidang ACQ adalah HO.HO=√(DO)2+(DH)2=√(4√2)2+(8)2=√32+64=√96=4√6Jadi, jarak titik H ke bidang ACQadalah 4√6cm.2.Suatu kepanitiaan membuat papan nama dari kertas yang membentuk bangun seperti berikut.Ternyata ABE membentuk segitiga sama sisi, panjang BF = 13 cm danBC = 12 cm. Tentukan jarak antara titik A dan bidang BCFE!Alternatif Penyelesaian:Misal jarak titik A dengan bidang BCFE adalah dEB=√(BF)2−(EF)2=√132−122=√169−144=√25=5d=√(AB)2−(12EB)2=√52−(52)2=√25−254=√754=52√3Jadi, jarak titik A dengan bidang BCFE adalah 52√3cm.3.Diketahui panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan EC = 5√5cm, tentukan jarak antara titik B dan bidang ACE.Alternatif Penyelesaian:AC=√(AB)2+(BC)2=√82+62=√64+36=√100=10Jarak antara titik B dan bidang ACE adalah BP.ABC siku-siku di C, sehingga diperoleh:d

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN39BP=AB×BCAC=8×610=4810=4,8Jadi, jarak antara titik B dan bidang ACE adalah 4,8 cm.4.Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC. Panjang AB = 6 cm dan TA = 8 cm. Tentukan jarak antara titik T dengan bidang ABC.Alternatif Penyelesaian:Dari gambar di samping, jarak antara titik T denganbidang ABC adalah ruas garis TO. TO ⊥PB, sehinggaTO=√(TB)2−(BO)2Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi sehingga AB = BC = CA = 6 cm, sedangkanPA = 3 cm.Panjang PB=√(AB)2−(PA)2=√62−32=√36−9=√27=3√3OB=23PB=23(3√3)=2√3TO=√(TB)2−(BO)2=√82−(2√3)2=√64−12=√52=2√13Jadi, jarak titik T ke bidang ABC adalah 2√13cm.5.Diketahui luas permukaan kubus ABCD.EFGH adalah 294 cm2. Tentukan:a. Jarak antara titik F ke bidang ADHE.b. Jarak antara titik B ke bidang ACH.Alternatif Penyelesaian:Diketahui luas permukaan kubus ABCD.EFGHadalah 294 cm2.Maka panjang rusuk kubus= √2946=√49=7a.Jarak antara titik F ke bidang ADHE adalahruas garis FE = 7 cm.b.Perhatikan gambar di atas. BP⊥HO,sehinggaBPmerupakan jarak antara titikB dengan bidang ACH.AC = BD = AH =7√2(diagonal bidang)AO = BO = 12BD=12(7√2)=72√2PO

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN40HO=√(AH)2−(AO)2=√(7√2)2−(72√2)2=√98−492=√3434=72√6Perhatikan HDO dan BPO sebangun, sehingga diperoleh DHBP=HOBO7BP=72√672√27BP=√3BP=7√3=73√3Jadi, jarak titikB kebidang ACHadalah 73√3cm.6.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk acm. P dan Q masing-masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik potong EG dan FH. Tentukan jarak titik R ke bidang EPQH.Alternatif Penyelesaian:Misal jarak titik R ke bidang EPQH adalah dSR = 12𝑎dan OR = aSO = √(SR)2+(OR)2=√14𝑎2+𝑎2=√54𝑎2=𝑎2√5𝑑=SR×ORSO=12𝑎×𝑎𝑎2√5=12𝑎2𝑎2√5=𝑎√5=𝑎5√5Jadi, jarak titik R ke bidang EPQH adalah 𝑎5√5cm.7.Diketahui limas beraturanT.ABCD dengan AB = 8 cm dan TA = 12 cm. Hitung jarak titik T ke bidang ABCD.Alternatif Penyelesaian:Jarak titik T ke bidang ABCD merupakan tinggi dari limas, yaitu TO.Dengan Teorema Pythagoras diperoleh (TO)2= (TP)2–(OP)2Perhatikan TPC siku-siku di P, sehingga: TP = √(TC)2−(CP)2=√122−42=√144−16=√128=8√2cm.OP = 12AB=12(8)=4cm.Perhatikan TOP siku-siku di O, sehingga:TO = √(TP)2−(OP)2=√(√128)2−42=√128−16=√112=4√7Jadi, jarak titik T ke bidang ABCD adalah TO = 4√7cm.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN418.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjangrusuk 12 cm. Hitung jarak titik G ke bidang BDE.Alternatif Penyelesaian:AC = BE = BD = DE = 12√2(diagonal bidang)AG = 12√3(diagonal ruang)OB = OA = 12AC=12(12√2)=6√2Perhatikan BDE merupakan segitiga sama sisi (BD = BE = DE), sehingga diperolehOE = √(BE)2−(OB)2=√(12√2)2−(6√2)2=√288−72=√216=6√6Perhatikan OAE siku-siku di A, sehingga diperolehAN=OA×AEOE=6√2×126√6=12√2√6=12√3=4√3GN = AG –AN = 12√3−4√3=8√3Jadi, jarak titik G ke bidang BDE adalah GN = 8√3cm.N

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN42E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaiansecara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda pada kolom pilihan.NoPertanyaanYaTidak1Apakah Anda dapat menggunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan panjang sisi segitiga?2Apakah Anda tahu cara menghitung luas segitiga?3Apakah Anda dapat menggambar bangun ruang bidang datar seperti kubus, balok, limas, dan prisma?4Apakah Anda dapat membedakan rusuk, diagonal bidang, dan diagonal ruang?5Apakah Anda tahu prosedur menentukan jarak titik ke bidang dalam ruang bidang datar?6Apakah Anda dapat menentukan jarak titik ke bidang pada ruang bidang datar?JUMLAHCatatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaranberikutnya.

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN43EVALUASI1.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jarak titik H ke titik potong diagonal alas kubusadalah ....A.6B.2√6C.4D.2√3E.2√22.Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang BC = 6 cm dan TC = 5 cm. Titik S adalah titik potong diagonal AC dan BD. Jarak titik T ke titik S adalah ....A.√7cmB.3 cmC.√13cmD.4 cmE.3√2cm3.Diketahui limas segiempat empat beraturan T.PQRS dengan panjang PQ = 4 cm dan TP = 8 cm. Jarak titik A ke garis rusuk TR adalah ....A.√14cmB.√28cmC.2√14cmD.3√14cmE.2√28cm4.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jarak titik E ke garis AG adalah ....A.2√3cmB.3√2cmC.2√6cmD.3√6cmE.6√2cm5.Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jarak titik G ke diagonal BE = ....A.3√6cmB.6√6cmC.9√6cmD.3√10cmE.9√10cm6.Diketahui limas T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 cm dan TA = 6cm. Jarak titik C ke garis AT = ....A.14√14cmB.23√14cm

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN44C.34√14cmD.43√14cmE.32√14cm7.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 9 cm. Titik T terletak pada pertengahan garis HF. Jarak titik A ke garis CT adalah ....A.5√3cmB.6√2cmC.6√3cmD.6√6cmE.7√3cm8.Diketahui balok KLMN.PQRS dengan KL = 3 cm, LM = 4 cm, dan KP = 12 cm. Jarak titik R ke garis PM adalah ....A.3513cmB.4013cmC.4513cmD.5013cmE.6013cm9.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H ke garis AC adalah ....A.8√3cmB.8√2cmC.4√6cmD.4√3cmE.4√2cm10.Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P dengan garis HB adalah ....A.8√5cmB.6√5cmC.6√3cmD.6√2cmE.6 cm11.Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8cm. Jarak titik E dengan bidang BDG adalah....A.13√3cmB.23√3cmC.43√3cmD.83√3cmE.163√3cm

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4512.Limas ABCD pada gambar di samping merupakan limas segitiga beraturan. Jarak titik A ke garis BE adalah ....A.3√2cmB.2√6cmC.6cmD.4√3cm E.8cm13.Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jarak titik B ke diagonal ruang AG adalah ....A.√5cmB.2√5cmC.3√5cmD.2√6cmE.3√6cm14.Jarak titik H ke bidang ACF dalam kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya padalah....A.13𝑝B.14𝑝√3C.12𝑝√2D.12𝑝√3E.23𝑝√315.Gambar di bawah ini adalah bidang empat beraturan. Jarak antara titik puncak dan bidang alas adalah ....A.32√3cmB.2√3cmC.2√6cmD.3√6cmE.9√6cm16.Kamar Akbar berbentuk balok dengan ukuran panjang : lebar : tinggi=5:5:4. Di langit-langit kamar terdapat lampu yang letaknya tepat pada pusat bidang langit-langit. Pada salah dinding kamar dipasang saklar yang letaknya tepat di tengah-tengah dinding. Jarak saklar ke lampu adalah....A.32mB.52mC.12√34mABDCE6√2cm12 cmD9 cmBCA9 cm

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN46D.12√41mE.√14m17.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah ....A.4√6cmB.4√5cmC.4√3cmD.4√2cmE.4 cm18.Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk acm. Jarak titik E ke bidang diagonal BDHF adalah ....A.12𝑎√3cmB.12𝑎√2cmC.14𝑎√2cmD.12𝑎cmE.14𝑎cm19.Diketahui S adalah titik yang terletak di perpanjangan HD pada kubus ABCD.EFGH dengan DS : HD = 1 : 2. Jika panjang rusuk kubus adalah 6 cm, jarak titik F ke titik S adalah ....A.5√17cmB.4√17cmC.3√17cmD.2√17cmE.√17cm20.Diketahui limas segiempat T.ABCD dengan panjang rusuk AB = BC = 8 cm dan TA = 6 cm. Jika P titik tengah BC, maka jarak titik P ke bidang TAD adalah ....A.2√6cmB.85√5cmC.45√5cmD.83√3cmE.58√3cm

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN47KUNCI JAWABANEVALUASI1.B2.A3.B4.C5.A6.D7.C8.E9.C10.D11.E12.B13.D14.E15.D16.D17.D18.B19.C20.B

Modul MatematikaUmumKelasXII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN48DAFTAR PUSTAKAAbdur Rahman As’ari, dkk. 2018. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII. Jakarta: Kemendikbud.Sukino. 2019. Matematika SMA/MA Kelas XII IA (IPA). Sidoarjo: PT. Masmedia Buasa Pustaka.Untung Trisna Suwaji, Himmawati. 2018. Geometri dan Irisan Kerucut. Modul Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan Guru Matematika SMA. Yogyakarta: PPPPTK Matematika.